Внимание!
Предложения и заявки заказчиков

Размещение рекламных материалов

коммерческая реализация изобретений - ООО 'Адвансед Девелопмент Проджект' смотреть>>>

Требуются разработки по средствам контроля и ограничения по количеству дисковых операций производимых одним пользователемдля хостинг провайдера. смотреть>>>

Требуются разработки по использованию низкопотенциальной энергии смотреть >>>

Великая теорема Ферма


Теорема: Пусть имеется три числа, удовлетворяющих уравнению:
                                                          zn = xn + yn (1).
Требуется доказать, что при n > 2 данное уравнение не имеет целочисленных решений
Доказательство.
Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям:
одно из чисел, например, z, должно быть четным, два других - нечетными;
числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей;
никакие два числа не могут быть равны друг другу.
Предположим для определенности, что z > x > y.
Очевидно, что число z меньше суммы двух других чисел, т.е.
                                                               z < x + y (2).
Пусть имеется три отрезка длиной z, x, y, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при n > 2 остроугольный. Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов:
                                                     z2 = x2 + y2 – 2xycosα :
где α – угол между сторонами x и y.
Построим остроугольный треугольник ABC со сторонами AB = x, BC = y, AC = z. Опустим из точки A остроугольного треугольника ABC перпендикуляр на противолежащую сторону BC, как это изображено на рисунке.
teor.jpg
                                  Рис. 1. Остроугольный треугольник
Из треугольника BC1C находим cosα = m1 / BC = m1 / y. Подставляя значение cosα в (2), получим:
                                                      z2 = x2 + y2 – 2xym1 / y
                                                      z2 = x2 + y2 – 2xm1 (3)
Таким образом, для одного и того же треугольника одновременно имеем два различных соотношения между его сторонами: (1) и (3). Тогда суть теоремы может быть выражена иначе: Требуется доказать, что никакие целочисленные решения уравнения (3) не являются таковыми для уравнения (1).
Умножим уравнение (3) на zn-2. Получим:
                                              zn-2z2 = zn-2x2 + zn-2y2 – 2xzn-2m1 (4)
Пусть zn-2 = xn-2 + a = yn-2 + b, где a и b – некоторые целые числа, обеспечивающие указанные равенства. Тогда, подставляя значение zn-2 в (4), получим:
                                             zn = (xn-2 + a) x2 + (yn-2 + b) y2 – 2x(xn-2 + a)m1
                                             zn = xn + ax2 + yn + by2 – 2x(xn-2 + a)m1 (5)
Вычитая (1) из (5), получим:
                                                  0 = ax2 + by2 – 2x(xn-2 + a)m1 (6)
Таким образом, если при каких-либо целочисленных значениях чисел x и y уравнение (6) окажется равным нулю, то решение этого уравнения (т.е. значения чисел x и y) будет одновременно решением уравнения (1), так как в этом случае оказывается возможным уравнение (5) преобразовать в уравнение (1).

Решая данное уравнение, получим:
                                                       by2 = 2x(xn-2 + a)m1 - ax2
                                                       by2 = x[2(xn-2 + a)m1 – ax]
Запишем для простоты вычислений 2(xn-2 + a)m1 – ax = k. Получим:
                                                                             by2 = kx,
откуда следует:
                                                                          yr.jpg
т.е.  korx.jpgявляется одним из множителей числа y.
Таким образом, целочисленные решения уравнения (6) оказываются возможными только при условии, что korx.jpg является одним из множителей числа y, что противоречит начальным условиям задачи. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (6) не будет равно нулю. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (5) не может быть преобразовано в уравнение (1). Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (1) не может иметь каких-либо целочисленных решений. Что и требовалось доказать.

Петров В.В.
пр-т Ленина, 30, кв. 9
г. Николаев 54029
Украина

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Комментарии