Главная 
Наука Наука | Естественные Великая теорема Ферма
Наука Наука | Естественные Великая теорема Ферма
| Великая теорема Ферма |
|
|
| Автор Валерий Петров | |
| 08.06.2008 г. | |
|
Теорема: Пусть имеется три числа, удовлетворяющих уравнению: zn = xn + yn (1). Требуется доказать, что при n > 2 данное уравнение не имеет целочисленных решений Доказательство. Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям: одно из чисел, например, z, должно быть четным, два других - нечетными; числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей; никакие два числа не могут быть равны друг другу. Предположим для определенности, что z > x > y. Очевидно, что число z меньше суммы двух других чисел, т.е. z < x + y (2). Пусть имеется три отрезка длиной z, x, y, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при n > 2 остроугольный. Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов: z2 = x2 + y2 – 2xycosα : где α – угол между сторонами x и y. Построим остроугольный треугольник ABC со сторонами AB = x, BC = y, AC = z. Опустим из точки A остроугольного треугольника ABC перпендикуляр на противолежащую сторону BC, как это изображено на рисунке.  Рис. 1. Остроугольный треугольник Из треугольника BC1C находим cosα = m1 / BC = m1 / y. Подставляя значение cosα в (2), получим: z2 = x2 + y2 – 2xym1 / y z2 = x2 + y2 – 2xm1 (3) Таким образом, для одного и того же треугольника одновременно имеем два различных соотношения между его сторонами: (1) и (3). Тогда суть теоремы может быть выражена иначе: Требуется доказать, что никакие целочисленные решения уравнения (3) не являются таковыми для уравнения (1). Умножим уравнение (3) на zn-2. Получим: zn-2z2 = zn-2x2 + zn-2y2 – 2xzn-2m1 (4) Пусть zn-2 = xn-2 + a = yn-2 + b, где a и b – некоторые целые числа, обеспечивающие указанные равенства. Тогда, подставляя значение zn-2 в (4), получим: zn = (xn-2 + a) x2 + (yn-2 + b) y2 – 2x(xn-2 + a)m1 zn = xn + ax2 + yn + by2 – 2x(xn-2 + a)m1 (5) Вычитая (1) из (5), получим: 0 = ax2 + by2 – 2x(xn-2 + a)m1 (6) Таким образом, если при каких-либо целочисленных значениях чисел x и y уравнение (6) окажется равным нулю, то решение этого уравнения (т.е. значения чисел x и y) будет одновременно решением уравнения (1), так как в этом случае оказывается возможным уравнение (5) преобразовать в уравнение (1). Решая данное уравнение, получим: by2 = 2x(xn-2 + a)m1 - ax2 by2 = x[2(xn-2 + a)m1 – ax] Запишем для простоты вычислений 2(xn-2 + a)m1 – ax = k. Получим: by2 = kx, откуда следует:  т.е.  является одним из множителей числа y. Таким образом, целочисленные решения уравнения (6) оказываются возможными только при условии, что является одним из множителей числа y, что противоречит начальным условиям задачи. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (6) не будет равно нулю. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (5) не может быть преобразовано в уравнение (1). Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (1) не может иметь каких-либо целочисленных решений. Что и требовалось доказать.Петров В.В. пр-т Ленина, 30, кв. 9 г. Николаев 54029 Украина |